라플라스변환 쉽게 이해하자
라플라스변환의 개념을 파악할려고 인터넷을 뒤져도 도통할수가 없다. 주로 라플라스변환을 정의하고 그에 따른 여러 함수들의 라플라스변환
결과를 유도하고 있지만, 정작 필요한 개념은 매우 막막하게 설명하는
느낌이다.
수학이 암기과목도 아니고 개념파악도 안된 상태에서 라플라스변환
의 여러 함수식을 무작정 외우기도 그렇고 답답하다.
라플라스변환의 정의를 제대로 이해하면 변환함수 유도야 단지 사람에
따라 시간이 좀 걸리더라도 풀수 있는 기술적인 문젠데 말이다.
역사적으로 보면, 라플라스 변환은 미분방정식을 풀려다 진을 뺀 수학자들이
보다 더 쉽게 + - x / 의 상대적으로 간단한 대수방식
결과라고 한다.
예를 들어 전기분야의 RC과도해석에서 KVL로 미분방정식을 세우고 이걸 기존의
복잡한 미분방정식 풀이 방식이 아니라 시간 변수(t)를 없애는 라플라스변환하여
s로 나타나는 n차식을 사칙연산으로 단순화하고 다시 라플라스역변환표를 이용하여
우리가 최종적으로 원하는 시간 t의 함수를 얻 는다.
정말 쉬워보인다.
라플라스변환의 효율성과 효용성은 의심의 여지가 없어 보인다.
그런데 이게 밑도 끝도 없어 보이는 것은 라플라스변환 정의에서
왜 e지수함수가 튀어 나왔는가가 아닐까?
이글의 주제는 이넘이 어떻게 튀어나왔는지를 우리도 곰곰이 생각해보자는 것
입니다.
다음의 라플라스 변환정의를 살펴보면,
이 변환을 라플라스가 직접 알아냈는지는 잘모르겠지만, 아무튼 라플라스가
만들었다고 치고 우리가 라플라스가 되어 그의 머리속을 따라가보자.
그때의 라플라스는 우리처럼 초등수학(고교과정)정도의 실력만가지고 있고,
역설계랄까 그런 방식을 쓴다고 하자.
즉, 원하는 결과에서 거꾸로 올라가는 방식으로.
우리의 목표는 미분방정식을 쉽게 풀기위해 삼각함수,지수함수, n차함수,로그함수
등을 제거하고 그 함수의 독립변수도 제거돼 새로운 변수의 n차방정식으로만
나타나게 하는 어떤 변환식을 구하는 것이다.
그럼 단순한 사칙연산으로 쉽게 계산하여 다시 역변환하여 원하는 미분방정식의
해을 얻을 수 있게 된다.
미분방정식의 구성요소들을 보면, 미분방정식에는 n차함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 여러함수와 미분(d/dx),
적분이 포함돼있다.
그럼 우리가 찾고자 하는 미분방정식의 변환식은
1. 변환에 의해 미분방정식의 변수(x나 t 등)는 없어지고 다른
차원의 변수 식으로 전환돼야한다. 2. 그때의 변환식은 오로지 변수의 n차식으로만 이뤄진다 .
즉, 삼각함수, 지수함수(사실 e지수는 시작점이동시 나타납니다만 ),
로그함수등은 나타나서는 안된다.
그래야만 우리가 원하는 쉬운 사칙연산을 이용할 수 있다.
변환
예) d{sin(x)}/dx + g(x)+ln(x) -------> y2+3y+g(y) (o)
변환
d{sin(x)}/dx + g(x)+ln(x) -------> cos(y)+ln(y) (x)
이제 우리가 찾고자 하는 목표는 조금은 명확해졌다.
어떤함수 f(x)= sin(x)라하자. 이함수가 어찌됐든 변환 변수를 p라 했을때 변환후 sin(x)는 p에 대한 n차함수로
나타나야한다.
sin(x)에 어떤 실수를 사칙연산해봐야 변수 x가 없어지지도 않고 sin함수도 없어
지지 않는다.
그렇다면 직관적으로 생각할때 sin(x)엔 변환변수 p를 포함하는 어떤 함수를 곱
하거나 나누어야 한다는 걸 알수있다.
막나가봅니다. 케세라 세라.
곱하거나 나누어질 새로운 함수를 q()라하면, 그럼 2종류의 q(p)함수가 존재할
수밖에 없다.
1. p를 독립변수로 하는 함수 q(p)거나
2. p를 상수로하고 독립변수를 x로하는 함수이다.
이때는 대문자 P를 사용하여 q(x,P)라하자.
이건 자명하다.
p나 x외의 독립변수를 사용한다면 지금 우리는 새로운 쉬운 미분방정식 해법을
찾는게 아니라 오히려 문제를 어렵게 하고 있으니까. 여기서 위 1,2의 경우 가능한 형태가 어떻것이 있는지 살펴보자. 라플라스 변환 L{f(x)}처럼 여기서 우리만의 변환을 나타내는 기호를 정해서 T라하자.
그냥 L로 할 수도 있지만 암튼 그러고 싶다.
ㅇ T{sin(x) X q(p)} = n차 p함수가 돼야한다. ㅇ T{sin(x) / q(p)} = n차 p함수 ㅇ T{sin(x) X q(x,P)} = n차 p함수 ㅇ T{sin(x) / q(x,P)} = n차 p함수
위 식을 보면 q함수가 될 수 있는 우리가 아는 삼각함수, 지수함수, 로그함수와 기타
n차함수(쌍곡선함수등 포함)을 sin(x)에 곱하거나 나누어도 sin(x)는 여전히 없어지지
않는 다는걸 알게된다.
문제는 단지 삼각함수뿐아니라 우리는 지수함수 로그함수에 대해서도 p의 n차식으로
나타나는 함수로 변환하는게 목적이므로 이것만 으론 안된다는건 당연해보인다. 지금 끼워 맞추기 아니냐고 따질분들이 이쯤에서 많을 것같다.
나도 그렇게 생각할 정도니까.
그러나 달리 생각해 보면 뭔가 큰걸 얻을려면 이런 뻔뻔스럽고 대담한 시도들이
필요하다고 확신한다.
그 유명한 푸리에급수가 역사적으로 어떻게 발전해 갔느냐를 보면 더욱그러하다.
ㅁ 사실 푸리에가 그 유명한 푸리에급수를 프랑스 학회에 제출했을때 그 발상의
혁명성보다는 그 유도과정의 어설픔에 논문의 게재를 거부하고 보완을 요구했고
후에 푸리에가 보완해서 게재되기는 했지만 완전히 푸리에급수를 수학적 토대
위에 세운것은 푸리에가 아니라 더 똑똑한 수학자들에 의해 완성됐다는점.
ㅁ그리고 후대의 학자들 중에 어찌 이런 수학적으로 명석해보이지 않는 사람 (?)이
이런 대담하고 혁명적인 생각을 했을까 의아해 했다는 것을 생각해 본다면,
이런 접근법을 무시해서는 안된다.
아무래도 내가 보기엔 푸리에는 어느날 직관적으로 '아~ 모든 주기 함수는 사인과
코사인의 합으로 나타낼수 있구나' 느꼇을 것이다.
그 다음에 수학적으로 파고들은 결과가 미완의 논문이였다.
그러나 모든 영광은 당대나 후대의 머리 좋은 수학자들이 아니라 푸리에에게
돌아가 지금도 우리는 푸리에급수나 변환 더 나아가 고속푸리에변환등에서
그의 영광을 되새기지 않는가?
라플라스는 푸리에보다는 훨씬 뛰어난 역사를 통틀어 수학자 10인안에 들어가는
위대한 지성임을 인정은 하지만, 그렇다고 그가 직관이랄까 어떤 통찰없이
라플라스 변환이 나왔다고 생각하지 않는다.
오히려 이런 목적이나 결과지향적 사고의 결과 여러 시도들을 해보고 나온게
라플라스변환일지 모른다고 생각한다.
실제 그랬었다고해도 대놓고 얘기하진 않았겠지만.
얘기를 계속하자.
위의 4개의 식을 보면 뭔가를 더 붙어야된다는 걸 알게됐는데, 여기서 더 나아가기
전에 우리가 붙일 q라는 함수의 후보군 삼각함수 ,지수 함수, 로그함수 중에서 어떤
함수가 가장 후보로 적합할 것인지부터 생각해보자.
많은 분들이 아마 직관적으로 지수함수, 그 중에서도 밑이 e=2.71..... 지수 함수를
떠 올렸을 것이다.
왜냐면
ㅁ e지수함수는 삼각함수와의 관계식이 성립하고 복소수영역
에서도 삼각함수와 관계를 갖고있다.
ei0=cos(0)+isin(0) ----> 오일러방정식
cos(x)=ei0+e-i0/2 ----> 복소관수 cosh(x)=ex+e-x/2 등등등 * 0->라디안 세타, ex는 e의 x승 수식입력하려니 시간이...;; ㅁ 로그는 지수의 역함수의 관계다
ㅁ 미분하거나 적분하면 다시 자기함수가 된다. f'(x)=f(x), Sf(x)= f(x)
* S는 적분기호
ㅁ e지수함수와 기타 함수와의 곱셈적분은 부분적분으로
계산되는데
- 구하려는 적분식이 부분적분중 나타나고
- 부분적분을 반복하면 e지수함수의 지수부의 상수가
지수에서 빠져나와 반복횟수에 따라 n차식으로 나타
나게된다. 결국 이게 라플라스변환에선 s의 n차로
나타나게된다
따라서 e지수함수는 n차함수, 삼각함수, 로그함수와 관계를 맺고 있으므로 이 모두와
통할수 있는 e지수함수가 q함수로 가장 적합해보인다.
그럼 위의
ㅇ sin(x) X q(p) 또는 q(x,P)에서 q 함수로 e지수함수를
놓고 생각해보자 .
이제 여기다 뭔가 붙어야한다.
뻔뻔스럽지만, 여기서 라플라스는 미분이나 적분을 생각하지 않았을까.
변수(x) 대한 미분의 경우 q함수는 차치하더라도 sin(x)도 역시 없어지지도
않고 cos(x)로 바뀌며 p의 n차식 모양으로도 변하기가 요원해 보인다.
이제 쉽게 생각해볼수 있는 마지막후보로 적분이다.
이게 가능성이 없으면 뭘 더 붙여야할까?
내 머리론 라플라스 발치에도 못가고 수학전공도 아니니 이쯤에서 포기했을
것같다. 드뎌 초등수학으로 생각할수있는 선택후보군중 마지막 보루인 적분에 도달했다.
일단 적분기호를 달아본다면 우리의 목표는 sin(x)를 없애는 것이니 x에 대한 적분이여야한다.
두개의 가능성이 있으므로 검토해보자.
a. T{S sin(x) X e(x,P) dx} = p의 n차 방정식이 돼야한다. b. T{S sin(x) X e(p) dx} = p의 n차 방정식이 돼야한다.
후보 b는 역시 타당하지 않은 것이 자명해 보인다.
어떤 적분구간에서 계산한 결과가 우측결과가 나올 어떤 관계식도 찾을 수
없거니와, 더 확실하게 말하면 수학적으로 p와 x는 관계를 맺어야하지 x와
무관하게 존재한다면 우측의 결과가 어떤 p의 n차 식이 된다해도 그건 임의적
결과일뿐이다.
따라서 결국 a의 경우만 유일하게 남는다.
아직도 몇가지 고려할 사항이 남았다.
<1>주어진 조건에서, 우측항이 n차방정식여야 하니,
적분결과는 반드시 수렴해야한다 . 그런데 sin(x) 자리에 올수있는 삼각함수, 사인함수,
로그함수나 x의 n차함수들은 적분구간에 따라 무한대가
나올 수 있으므로 e(x,P)에서 수렴조건을 만들어 줘야한다.
<2>또한 적분구간이 m,n이라면 적분결과식에 m,n이 나타나므로
가장 간단한 최선의 식은 적분결과에 m,n이 나타나지 않게
하는 특정 값이 와야한다.
(혼잣말: 아 짜맞추기도 힘드네 ~;;)
따라서
<1>조건를 고려하면 e지수함수는 감쇄함수여야한다 .
그렇지않다면 지수함수성질상 적분식은 무한대로 갈것이다. q(x,P)가 감쇄함수라는 조건에 의해 가장 단순하며 조건을
만족하는 후보 함수는 e-Pt(e의 -Pt승)가 된다.
<2>항을 고려하면, 적분구간 m,n후보로 -무한대, 0,
+무한대가 후보가 된다.
유력후보 e-Pt을 두고 적분구간을 -무한대,0,무한대에서 찾아보면
ㅁ -무한대에서 0까지 적분 : e-Pt가 무한대가 되므로 탈락시킨다. ㅁ -무한대에서 +무한대 적분 : 역시 무한대 이므로 탈락
결국 0에서 무한대 구간적분이면 e-Pt가 수렴값을 가지므로 채택한다.
이렇게 해놓고 보면 e의-Pt승은 피변환함수와 부분적분 하면 P가 상수로
나 오고 e-Pt는 적분구간 0과 무한대에서 대입하면 각각 1과 0으로 수렴
하니 더욱 그럴듯해보인다.
마침내 라플라스변환의 정의와 똑 같아졌는데,
진짜로 라플라스가 나와같은 방법을 썼을 거라고는 생각하지 않지만,
만에 하나 그랬다면 이쯤와선 심장이 무지 쿵쾅됐을듯싶다.
"이게 되면 과학계의 스따가 되는건데 느낌은 될것 같은데 진짜 될까?"
무턱대고 시작했지만, 암튼 우리도 여기까지 왔습니다. 빨리 계산해보져.
f(x)=sin(x) T{f(x)} =S sin(x) X e-Pt dx= p의 n차식이 돼야한다.
이건 삼각함수X지수함수의 부분적분이 되므로 부분적분하여 풀면,
우리가 알고 있는 sin(x)의 라플라스변환식과 같은 값을 얻을 수 있다.
T{f(x)}= 1/(P의 2제곱+1)
물론 여러 다른 함수에 대해서도 라플라스변환값을 구해야하고,
특히 미분방정식에 나타나는 미분df(x)/dx나 적분 S은 어떻게 계산
되는지도 구해봐야 할것이지만, 라플라스변환 정의와 일치하는
변환식이니 같아짐은 당연합니다.
그리고 위에 쓴 전제에서 벗어나는건데 시작점이 이동하는 경우를
고려한 단위계단함수 u(t-d)가 있을경우엔 e의-dp승이 변환식에
나타나는것이라든지, 변환식의 선형성 기타 등등 우리가 편하게쓰는
라플라스변환관련 정리들도 구해봐야할 겁니다.
물론 결론은 정의가 같으니 될것입니만.
또한, p= d+jw의 복소영역으로 확대가능성도 찾아봐야겠고 물론
되는걸로 결론나 있습니다.
복 소영역으로 확장되므로, 삼각함수는 e복소지수로 나타낼 수
있으니 라플라스변환 하면 전기쪽에선 w가 주파수영역(sin(wt)의 w)
이 되므로 시간영역에서 주파수 영역으로의 해석이 가능하게됩니다.
어떻든 라플라스 정도의 머리라면 단순하고 대담한 아이디어인
미분방정식의 대수적 계산이라는 생각 만으로도 엄밀한 라플라스
변환식을 쉽게 만들었을것 같은 어느 정도의 확신이 듭니다.
* 지금까지 쓴 넉두리는 시원한 답을(물론 제 수준에서) 찾을 수
없어 수학적 엄밀성을 가출보내고 얘기해봤습니다만,
라플라스변환 개념을 깊이있게 설명해 주실 분의 적극
적인 댓글 부탁드립니다.
또한 푸리에변환과의 관계에 대해서도 많은 설명부탁드립
니다.
출처 : Over Your Head
메모 :
